三门问题:符合直觉的理解方式

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三门问题是一个符合概率论,但是相当反直觉的概率例子。读者可能不知道什么是三门问题,但是很可能听说过它的描述:

“假设你正在参加一个游戏节目,你被要求在三扇门中选择一扇:其中一扇后面有一辆车;其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门,假设是一号门,然后知道门后面有什么的主持人,开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你:“你想选择二号门吗?”转换你的选择对你来说是一种优势吗?”

为什么反直觉

直觉上,我们认为概率是对未定事物的描述,但是在三门问题中,选手确切地选中了某一扇门,因而不再是一个未定事物。

门后的汽车不会因为主持人打开了山羊门而发生改变。既然没有改变,那么无论换还是不换,都是一样的。

应该怎样直觉地理解三门问题

使用最朴素的频率统计法,可以得到换门策略对调胜败的结论。我们把门分为汽车门和山羊门。根据设定,汽车门有一扇,山羊门有两扇。

毋庸置疑,初选的成功率是1/3,相对的,失败率是2/3。如果选择“总是换门”的策略,最终的结果将会变成:

  1. 如果选手选中山羊门,那么换门后是汽车门 --> 胜利
  2. 如果选手选中汽车门,那么换门后是山羊门 --> 失败

发现了吗,“总是换门”的策略实际上实现的是“胜败的对调”。让失败的选择变成成功的,让成功的选择变成失败的。

又由于初选的失败率是2/3,因此“总是换门”的策略让这2/3的败率转换成了胜率,因此最终变成了2/3的胜率。

另一种角度:墨守成规“一定”不是最优的

这个角度解释:虽然我不知道该做什么,但是啥也不做一定不是最好的方案。

从选择空间的角度来说,第一次选择,实际上是3选1,相应的胜率也是1/3。而一旦主持人打开了一扇门,就变成了2选1的情况,胜率至少也是1/2。怎么都比第一次选择的胜率高。

因此在三门问题中,哪怕你抛硬币决胜负,都比墨守成规的胜率高。而实际上抛硬币也不是最优的,因为“翻转胜负”的成功率还比它高上一截。

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